Die verrückte Welt der Primzahlen

Diese Woche dreht sich bei uns alles um Zahlen. Denn Zahlen sind alles andere als langweilig. Viele von ihnen erscheinen ganz harmlos, aber haben es faustdick hinter den Ohren. Anja Vinzelberg stellt uns heute die Primzahlen vor. Sie ist Wirtschaftsmathematikerin und ihre Lieblingszahl ist die 7.

Was sind Primzahlen?

Primzahlen sind natürliche Zahlen größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind.

Halt, stopp! Was sind denn natürliche Zahlen?

Natürliche Zahlen sind die Zahlen, die Du zum Zählen verwendest wie 1, 2 oder 3. Manche Mathematiker nehmen die 0 noch dazu und andere nicht. Die natürlichen Zahlen sind also Zahlen ohne Punkt und Komma. Und positiv.

Wie meinst Du das? Positiv? Die fühlen sich gut oder wie?

Nein. Also, positiv heißt, sie sind nicht negativ. Also diese Zahlen haben kein Minuszeichen.

Und was meinst du denn mit dem Komma?

Tja, man könnte meinen, irgendwann haben die Zahlen 1, 2, 3, 4 nicht mehr ausgereicht…

Aber die sind doch unendlich…

Stimmt. Aber man wollte gerne noch zwischen diesen Zahlen weitere Zahlen haben. 1,1 und 1,2 zum Beispiel.

Das wird mir zu kompliziert. Positiv, negativ, natürlich, Punkt, Komma und Primzahlen. Wozu braucht man das? Das versteht doch keiner mehr…

Eigentlich ist es ganz einfach. Man hat die Zahlen einfach in Grüppchen aufgeteilt. Und jedes Grüppchen hat seine Eigenschaften. Man kann es mit Legosteinen vergleichen. Nur weiße Legosteine hätten Dir doch auch nicht gereicht oder? Oder nur die ganz kleinen oder nur die ganz großen. Die Mathematiker wollten ihre Zahlen einfach sortieren und einteilen. Damit sie sich in dieser großen Menge besser zurechtfinden. Und damit sie wissen, wovon sie sprechen, haben sie diesen Zahlengrüppchen Namen gegeben.

Also, wie war das nun mit den Primzahlen? Hast Du ein Beispiel?

7 ist zum Beispiel eine Primzahl – die 7 ist nur durch 1 und durch sich selbst, also durch 7, teilbar. Die 6 ist keine Primzahl, denn die 6 ist zwar auch durch 1 und durch sich selbst teilbar, aber auch durch 2 und durch 3.

Gibt es eine kleinste Primzahl?

Ja. Die kleinste Primzahl ist die 2. Die 2 ist größer als 1 und nur durch 1 und durch sich selbst teilbar. Es ist auch die einzige gerade Primzahl.

Was ist denn eine gerade Zahl?

Eine gerade Zahl ist durch 2 teilbar. Also die Zahlen 2, 4, 6, 8, 10,…

Wenn es eine kleinste Primzahl gibt, gibt es dann auch eine größte Primzahl?

Nein. Seit vielen, vielen hundert Jahren, wissen die Mathematiker, dass es keine größte Primzahl gibt. Sie konnten dies sogar beweisen. Zu jeder beliebig großen Primzahl gibt es immer noch eine größere Primzahl. Es gibt also unendlich viele Primzahlen.

Die Primzahlen sind also wie eine eigene Familie. Stimmt das?

Ja, tatsächlich. Primzahlen sind etwas ganz Besonderes. Es gibt auch Primzahlzwillinge. Das sind Primzahlen, zwischen denen nur eine einzige Nicht-Primzahl liegt. Also zum Beispiel 3 und 5. Das sind Primzahlzwillinge, denn zwischen 3 und 5 gibt es nur eine einzige gerade Zahl, die 4. Man kann auch sagen, Primzahlzwillinge, sind ein Paar von Primzahlen, deren Abstand 2 ist. Fallen Dir vielleicht noch weitere ein? Ja, genau: 11 und 13 oder 17 und 19 sind auch Primzahlzwillinge.

Gibt es ein größtes Primzahlzwillingspaar?

Das ist eine gute Frage und ein Geheimnis aus der Mathematik, welches noch nicht gelüftet ist. Die Mathematiker vermuten, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, aber bewiesen ist das noch nicht. Hier müssen sie noch ganz viel nachdenken. Eine wirklich harte Nuss.

Die Primzahlen sind ja so besonders, ist das nicht schade für die anderen Zahlen?

Alle natürlichen Zahlen größer als 1, die keine Primzahlen sind, lassen sich aus Primzahlen zusammensetzen. Oder anders herum gesagt, sie lassen sich in Primzahlen zerlegen. Mathematiker nennen das Primfaktorzerlegung. Ein Beispiel: Die Zahl 12 ist keine Primzahl, lässt sich aber in Primzahlen zerlegen (Primfaktoren), weil 12 = 2 x 2 x 3 ist. Und ganz richtig, 2 und 3 sind Primzahlen. Versuchen wir es doch mal mit einer größeren Zahl, zum Beispiel mit 100! Also, 100 = 5 x 5 x 2 x 2.

Das ist ja irre. Geht das immer?

Ja. Das haben Mathematiker beweisen können. Es geht immer. Primzahlen sind also Legosteine für alle anderen natürlichen Zahlen, die größer als 1 sind.

Was kann man denn nun mit Primzahlen machen?

Viele, viele hunderte Jahre lang waren Mathematiker von Primzahlen fasziniert und sind es immer noch, aber konnten nichts Richtiges damit anstellen. Doch irgendwann, im Zeitalter des Computers, sind Primzahlen wichtiger denn je. Primzahlen werden zur Verschlüsselung von Daten benutzt.

Wie das?

Wir haben ja schon von der Primfaktorzerlegung gesprochen. Für kleine Zahlen ist das einfach auszurechnen. Aber was ist, wenn die Zahl so groß ist, dass Du ein großes Blatt nehmen musst, um sie aufzuschreiben. Es ist unmöglich, für so eine Zahl sofort eine Primzahlzerlegung zu erkennen. Das geht nur mit einem Computer.

Was findest du so spannend an Primzahlen?

Ganz verrückt. Ich habe am 7.2.1980 Geburtstag. Ganz schnell habe ich gewusst, dass 7 und 2 Primzahlen sind. Leider sind 80 und auch 1980 keine Primzahlen. Zu meinem Geburtstag 2017 habe ich mich gefragt, ob 2017 eine Primzahl ist. Da habe ich direkt Glück gehabt. 2017 ist eine Primzahl, denn diese Zahl ist nur durch sich selbst und durch 1 teilbar. Nun bin ich in diesem Jahr 37 Jahre geworden. Irre – wieder eine Primzahl. Ich habe also festgestellt, dass ich am 7.2.2017 ganze 37 Jahre geworden bin und 7, 2, 2017 und 37 Primzahlen sind. Das war so verrückt, dass ich mich fragte: Ist das denn schon einmal so gewesen in meinem Leben? Ich war baff. Es gab schon 7 Geburtstage dieser Art (wieder eine Primzahl!) – 1987, 1993, 1997, 1999, 2003 und 2011 und 2017. Und wann ist es wieder soweit? 2027! Dann werde ich 47.

Morgen in der Woche der Zahlen auf www.naseweiswas.de:

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